(Fuzzy AHP) Fuzzy AHP의 기본 개념

 

 

목차

1. 들어가기 전에: 왜 퍼지(Fuzzy) 이론이 필요한가?
2. 퍼지 집합(Fuzzy Set)의 기초
   • 2.1 고전 집합(Classical Set)과의 차이
   • 2.2 멤버십 함수(Membership Function)
3. 퍼지 수(Fuzzy Number)
   • 3.1 삼각 퍼지 수(Triangular Fuzzy Number, TFN)
   • 3.2 사다리꼴 퍼지 수(Trapezoidal Fuzzy Number)
   • 3.3 언어적 변수(Linguistic Variable)와 퍼지 수 매핑
4. 퍼지 쌍대 비교 행렬(Fuzzy Pairwise Comparison Matrix)
   • 4.1 전통 AHP에서의 쌍대 비교 행렬
   • 4.2 Fuzzy AHP에서의 변경점
   • 4.3 역수(Reciprocal) 관계
5. 퍼지 연산(Fuzzy Operations)
   • 5.1 퍼지 덧셈(Fuzzy Addition)
   • 5.2 퍼지 곱셈(Fuzzy Multiplication)
   • 5.3 퍼지 역수(Fuzzy Reciprocal)
   • 5.4 기타 퍼지 연산 (퍼지-스칼라 곱셈 등)
6. 마무리: 퍼지 수와 퍼지 연산이 왜 중요한가?

 

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1. 들어가기 전에: 왜 퍼지(Fuzzy) 이론이 필요한가?

 

전통적인 AHP(Analytic Hierarchy Process) 기법에서는 1~9 혹은 1/9 ~ 9 사이의 특정 정수 스케일을 사용하여, 예를 들어 “기준 A가 기준 B보다 얼마나 중요한지”를 한 개의 숫자로 표현합니다. 사람이 직관적으로 “A가 B보다 조금 중요하다”고 느낀다면 3, “상당히 중요하다”면 5, “매우 중요하다”면 7, “절대적으로 중요하다”면 9를 주는 식입니다. 그러나 현실에서 사람의 판단은 이렇게 딱 떨어지지 않을 때가 많습니다.

 

예컨대, “A가 B보다 중요하긴 한데, 3보다는 약간 더 높은 정도? 그렇다고 5만큼 차이나진 않는다.”처럼 모호하게 느끼는 경우가 흔합니다. 또한 미래의 불확실성(시장 변동, 기술 발전 등)도 고려할 때는 하나의 숫자로만 판단하기 쉽지 않습니다. 바로 이런 점을 보완하기 위해, 퍼지(Fuzzy) 이론이 결합된 Fuzzy AHP가 고안되었습니다.

 

퍼지 이론은 사람의 모호한 판단이나 불확실성을 0~1 사이의 연속값 또는 구간(Interval)로 표현할 수 있게 해주고, 이를 수학적으로 다룰 수 있는 도구를 제공합니다. 그 핵심 중 하나가 퍼지 집합(Fuzzy Set)과 퍼지 수(Fuzzy Number)입니다. 고등학생의 관점에서 보면 “집합에 포함된다/안 된다”라는 흑백논리가 아니라, “부분적으로 속할 수도 있다”는 아이디어를 떠올리면 됩니다.

 

 

2. 퍼지 집합(Fuzzy Set)의 기초

 

2.1 고전 집합(Classical Set)과의 차이

 

전통적인 집합(고전 집합, Classical Set)에서는 어떤 대상이 그 집합에 속하면 1, 속하지 않으면 0과 같이 둘 중 하나로만 표현합니다. 예를 들어 “과일 집합 = {사과, 배, 딸기, 포도}”라고 했을 때, 사과는 과일 집합에 완전히 포함되므로 1, 자동차는 전혀 포함되지 않으므로 0이라는 식입니다.

 

반면, 퍼지 집합(Fuzzy Set)은 한 대상이 집합에 “부분적으로” 속할 수 있다는 개념을 도입합니다. 즉, 어떤 대상이 그 집합에 0과 1 사이의 모든 실수값만큼 속할 수 있다는 뜻입니다. 예를 들어 “딸기는 과일 집합에 0.7 정도로 속한다.”, “토마토는 과일 집합에 0.5 정도로 속한다.”라고 표현할 수 있습니다. 이렇게 0과 1 사이의 연속적인 값을 통해 ‘얼마나 속하는지’를 결정하는 함수를 멤버십 함수(Membership function)라고 부릅니다. 이 방식은 세상에서 흔히 볼 수 있는 ‘애매함’이나 ‘부분적 속함’을 좀 더 유연하게 설명할 수 있게 해줍니다.

 

퍼지 집합은 우리가 일상적으로 사용하는 “덥다, 춥다, 빠르다, 크다, 작다” 같은 애매한 표현을 0~1 사이의 숫자로 표시할 수 있게 해줍니다. 예컨대, “오늘은 좀 덥다”를 “덥다고 느끼는 정도가 0.7” 같은 식으로 표현할 수 있다는 점이 핵심입니다.

 

2.2 멤버십 함수(Membership Function)

 

퍼지 집합(Fuzzy Set)에서 가장 핵심적인 개념은 멤버십 함수(Membership function)입니다. 어떤 집합 A가 주어졌다고 할 때, 전통적인 집합에서는 어떤 원소 x가 A에 속하면 1, 속하지 않으면 0으로 표시합니다. 그러나 퍼지 집합에서는 x가 A에 ‘부분적으로’ 속할 수도 있으며, 이를 0과 1 사이의 값으로 나타냅니다.

 

예를 들어, 어떤 퍼지 집합 A ⊆ X가 정의되어 있고, 멤버십 함수 μ_A(x)가 “x가 집합 A에 어느 정도 속하는가”를 결정해준다고 합시다. 이때 μ_A(x) = 1이라면 x가 A에 완전히 속한다는 의미이고, μ_A(x) = 0이면 전혀 속하지 않는다는 뜻입니다. 그리고 0과 1 사이의 실수값이라면, 예컨대 μ_A(x) = 0.4처럼 나타낼 수 있는 것은, x가 A에 부분적으로 속한다고 볼 수 있습니다.

 

“나이가 많은 사람”이라는 퍼지 집합을 예로 들어보면, 20살에게는 μ_A(20) = 0.1 정도로 두어 “조금만 나이 많은 편”이라고 판단하고, 50살에게는 μ_A(50) = 0.6 정도, 80살에게는 μ_A(80) = 0.9 정도를 주어 “상당히 많다”로 인식하도록 설정할 수 있습니다. 이렇게 주어진 수치는 전적으로 주관적인 설정이지만, 인간이 느끼는 ‘애매함’을 정량적으로 표현할 수 있다는 점에서 유용합니다. 이를 통해, “정확히 몇 살부터가 나이가 많다고 할 수 있을까?”라는 의문에 대해, 하나의 절대적인 경계(예: 65세)로 확정 짓지 않고, 연속적인 변화를 반영할 수 있게 됩니다.

 

 

3. 퍼지 수(Fuzzy Number)

 

본격적으로 AHP에서 사용하는 ‘퍼지 수(Fuzzy Number)’에 대해 알아봅시다. AHP에서는 어떠한 기준이 다른 기준보다 “얼마나 중요한지”를 수치로 표현해야 하는데, 이때 전통 AHP에서는 정수 스케일(1~9)을 사용합니다. 그러나 Fuzzy AHP에서는 그 평가값을 정수 한 개가 아니라 삼각 퍼지 수나 사다리꼴 퍼지 수처럼 구간으로 표현할 수 있습니다.

 

3.1 삼각 퍼지 수(Triangular Fuzzy Number, TFN)

 

삼각 퍼지 수(Triangular Fuzzy Number, TFN)란, **퍼지 수(Fuzzy Number)**를 가장 간단하게 표현하는 방법 중 하나로, 다음과 같은 특징을 지닙니다.

• l (Left, 최소값) : 이 삼각형의 가장 왼쪽 모서리에 해당합니다. 이는 해당 퍼지 수가 가질 수 있는 가장 작은 값을 뜻합니다.
• m (Middle, 대표값) : 삼각형의 정점(꼭대기) 부분으로, 퍼지 멤버십 함수가 1(최댓값)에 도달하는 지점입니다. 일반적으로 판단자가 생각하는 가장 가능성이 높은 대표값, 혹은 중심값이라고 볼 수 있습니다.
• u (Right, 최대값) : 이 삼각형의 오른쪽 모서리로, 퍼지 수가 가질 수 있는 가장 큰 값에 해당합니다.

예를 들어, 삼각 퍼지 수가 (2,3,4)라면,

• 최소값 l=2,
• 대표값(중심) m=3,
• 최대값 u=4.

이는 “가능한 판단 범위가 2에서 4 사이이며, 그중에서 가장 가능성이 높은(중심이 되는) 판단은 3 정도”라는 의미를 담고 있습니다.

 

삼각 퍼지 수를 사용하면, 예를 들어 사람이 “약간 중요하다”라고 느끼는 정도를 하나의 고정 숫자 대신 (l,m,u) 형태의 구간(범위)로 나타낼 수 있게 됩니다. 따라서 평가자가 느끼는 모호함이나 불확실성을 어느 정도 허용할 수 있고, “딱 3이다”라고 못 박지 않고 “2~4 정도이며, 대표적으로 3에 가깝다”라고 표현하는 식으로 좀 더 유연하게 기술할 수 있습니다.

 

삼각 퍼지 수의 가장 큰 장점은 "단순한 계산"입니다. 연산(예: 덧셈, 곱셈, 역수 등)을 정의하기가 상대적으로 간단하다는 점입니다. 또한, 퍼지 이론 분야에서 삼각 퍼지 수가 많이 활용되어 왔기 때문에, 기존 연구나 실제 적용 사례에서도 쉽게 참조할 수 있는 문헌이 많습니다.

 

단점은 모호함 전부를 담기 어렵습니다. 실제 판단 과정에서 사람은 (l, m, u) 세 점으로 표현하기 힘든 더 복잡한 모호함이나, “대표 구간”이 두 개 이상 존재하는 상황 등을 가질 수 있습니다. 사다리꼴 퍼지 수 등 다른 형태보다 표현이 간단한 대신, “(l, m, u) 세 값”만으로 모든 불확실성과 모호함을 완벽히 나타내기는 어렵습니다.

 

그럼에도 불구하고 삼각 퍼지 수는 퍼지 AHP나 퍼지 의사결정 등 다양한 분야에서 폭넓게 사용되고 있습니다. 이는 “적당히 간단하면서도, 퍼지 논리를 적용하기에 충분히 유연한 표현”이라는 절충점 때문이며, 실제 적용 시에도 (최솟값, 대표값, 최댓값) 형태로 인간의 모호함을 직관적으로 이해하기에 수월하다는 장점이 부각됩니다.

 

3.2 사다리꼴 퍼지 수(Trapezoidal Fuzzy Number)

 

사다리꼴 퍼지 수(Trapezoidal Fuzzy Number)는 퍼지 수를 표현할 때, (a, b, c, d) 네 개의 실수를 사용하여 사다리꼴 형태(트라페zoid)의 멤버십 함수를 가지도록 만든 방식입니다. 일반적으로 a ≤ b ≤ c ≤ d를 만족하며, 그래프 상에서 x-축 위에 a, b, c, d 네 점을 배치한 뒤 이들을 연결한 선분이 사다리꼴 모양을 이룹니다.

 

구체적으로는 x ≤ a 구간에서 멤버십이 0이고, a에서 b까지는 0에서 1로 선형 증가하며, b에서 c까지는 멤버십이 1로 유지됩니다. 이후 c에서 d까지 구간에서 1에서 0으로 선형 감소하고, x ≥ d에서는 다시 0이 됩니다. 이런 구조를 통해 [b, c] 구간 전체를 ‘가장 가능성이 높은 상태(멤버십=1)’로 설정할 수 있으며, 그 결과 특정 구간 안에서 전부 동일하게 최고값을 유지한다는 특징을 나타낼 수 있습니다.

 

사다리꼴 퍼지 수는 해석 측면에서 대체로 세 구간으로 나눌 수 있는데, 먼저 (a, b) 구간에서는 멤버십이 0에서 1로 점차 증가하고, [b, c] 구간에서는 1로 유지되며, (c, d) 구간에서 다시 1에서 0으로 점차 감소합니다. 따라서 [b, c] 구간에서 멤버십이 1이 되는 것이 핵심인데, 삼각 퍼지 수가 오직 하나의 대표값에서만 최고값(1)을 지닌다면, 사다리꼴 퍼지 수는 이 최고 상태를 일정 구간 전체에 걸쳐 설정할 수 있다는 점이 중요한 차이점입니다.

 

이런 이유로, 사다리꼴 퍼지 수는 “3에서 5 사이는 전부 최고로 좋게 느껴진다”고 표현해야 하거나, 어떤 기준에서 여러 점이 모두 ‘매우 높음’ 상태로 평가되어야 할 때 매우 유용합니다. 예컨대 온도 문제를 다룰 때, “22~25도는 전부 쾌적(멤버십=1)하고, 그 양끝에서는 점진적으로 덥거나 춥게 느껴진다”는 식의 모델링을 할 수 있습니다. 다만 (a, b, c, d) 네 점을 전부 고려해야 하므로, 삼각 퍼지 수와 비교했을 때 연산(덧셈, 곱셈, 역수 등)이 조금 더 복잡해질 수 있고, 그래프 해석도 까다로울 수 있습니다. 그럼에도 불구하고, 구간 전체에 대해 멤버십이 1로 유지되는 영역을 부여할 수 있다는 장점 때문에 실무나 연구 현장에서 자주 사용됩니다.

 

 

3.3 언어적 변수(Linguistic Variable)와 퍼지 수 매핑

 

언어적 표현이란, 사람들이 “약간 중요”, “매우 중요”, “거의 비슷함”, “절대적 중요” 같은 말로 자신이 느끼는 판단 정도를 표현하는 방식을 의미합니다. 예를 들어, 어떤 기준에 대해 “약간 중요”라고 답하는 사람과 “상당히 중요”라고 답하는 사람은, 공통적으로 ‘중요하다’는 느낌을 공유하지만, 그 정도가 조금 다릅니다. 전통적인 AHP(Analytic Hierarchy Process)에서는 이런 차이를 1~9 같은 정수 척도로 단일 숫자로 환원하지만, 그 과정에서 일부 애매한 판단을 정확히 표현하기 어렵다는 문제가 생길 수 있습니다.

 

Fuzzy AHP에서는 이러한 언어적 표현을 그대로 숫자 한 개에 대응시키기보다, 삼각 퍼지 수나 사다리꼴 퍼지 수 형태로 변환함으로써, 사람이 느끼는 불확실성이나 애매함을 범위로 나타내도록 합니다. 예를 들어,

- “거의 비슷함(Slightly Important)” → (1, 1, 2)
- “약간 중요(Moderately Important)” → (2, 3, 4)
- “상당히 중요(Strongly Important)” → (4, 5, 6)
- “매우 중요(Very Important)” → (6, 7, 8)

와 같이 매핑해 둘 수 있습니다. 여기서 (2, 3, 4)라는 삼각 퍼지 수를 예로 들면, 사람의 판단이 최소 2 정도에서 최대 4 정도까지 분포하며, 그중 대표적인 (가장 가능성이 높은) 값은 3이라고 이해할 수 있습니다.

 

이렇게 “정확히 3”이라고 단정 짓지 않고도, 2~4 구간에서 3 근처를 중심으로 판단이 이뤄진다는 식으로 표현할 수 있으므로, 평가자의 모호함을 자연스럽게 남겨둘 수 있다는 장점이 생깁니다. 이렇게 언어적 표현을 퍼지 수로 매핑해 두면, 이후 계산 단계에서 전문가 의견을 통합하거나 불확실성을 수치로 처리하기가 한결 수월해집니다. 결국, 사람의 “느낌”이나 “직관”을 좀 더 풍부하게 반영할 수 있는 결정 모델을 만들 수 있게 됩니다.

 

 

4. 퍼지 쌍대 비교 행렬(Fuzzy Pairwise Comparison Matrix)

 

기존의 AHP(Analytic Hierarchy Process)는 여러 기준(또는 대안)을 서로 비교하여 중요도를 수치화하는 기법입니다. 기준이 n개라면, 이들을 1대1로 비교하여 “A가 B보다 얼마나 중요한가?”라는 질문에 대한 답을 n × n 행렬로 구성합니다. 전통 AHP에서는 이 답을 주로 1~9 같은 정수 스케일로 표현하여, “A가 B보다 3배 정도 중요”라고 하면 행렬 원소 a_ij에 3을 기입합니다.

 

아래는 전통 AHP에서 1~9 정수 척도를 사용했을 때의 쌍대 비교 행렬 예시입니다:

[ a11 a12 ... a1n ]
[ a21 a22 ... a2n ]
[ ... ... ... ... ]
[ an1 an2 ... ann ]

 

행렬의 대각 원소 a_ii는 자기 자신과의 비교이므로 보통 1을 쓰고, a_ij = 1 / a_ji 같은 역수 관계를 통해 대칭성을 유지합니다. 예컨대 “A가 B보다 3배 중요”라면, 반대로 “B는 A보다 1/3 정도 중요”가 됩니다. 이러한 전통 AHP 방식은 판단을 단일 숫자로 명확히 기록한다는 장점이 있으나, “3”이라고 적었을 때 실제로는 2.5에서 3.5 정도의 모호함이 포함될 수도 있음에도 이를 표현하기 어렵다는 한계가 있습니다. 이런 모호함을 해결하기 위해 Fuzzy AHP에서는 쌍대 비교값 하나를 단일 숫자가 아닌 퍼지 수(Fuzzy Number)로 표현합니다.

 

4.1 전통 AHP에서의 쌍대 비교 행렬

 

전통 AHP에서 n개의 기준이 있을 때, 각 기준 쌍을 1:1로 비교하여 “A가 B보다 얼마나 중요한가?”를 묻고, 1~9 척도로 답을 받습니다. 그렇게 해서 만든 n × n 행렬의 예시는 아래와 같습니다. 이때 a_ij는 “i번 기준이 j번 기준보다 얼마나 중요한지”를, a_ii = 1은 자기 자신과의 비교를, a_ij = 1/a_ji는 역수 관계를 각각 나타냅니다.

[ a11 a12 ... a1n ]
[ a21 a22 ... a2n ]
[ ... ... ... ... ]
[ an1 an2 ... ann ]

 

4.2 Fuzzy AHP에서의 변경점

 

Fuzzy AHP에서는 전통 AHP의 행렬 원소를 단일 숫자가 아니라 퍼지 수(Fuzzy Number)로 표현합니다. 예를 들어, ~A = [ (l11, m11, u11) ... (l1n, m1n, u1n) ]
   ...
[ (ln1, mn1, un1) ... (lnn, mnn, unn) ] 와 같은 형태가 됩니다.

 

예를 들어, 기준 A와 B가 있을 때, 전통 AHP에서는 “A가 B보다 3만큼 중요하다”를 3으로 기록하지만, Fuzzy AHP에서는 “A가 B보다 (2,3,4) 정도로 중요하다”고 표현할 수 있습니다. 반대 방향인 “B가 A보다 덜 중요”는 그 역수에 해당하는 (1/4, 1/3, 1/2)로 결정하게 됩니다.

 

[ (1,1,1) (2,3,4) ]
[ (1/4,1/3,1/2) (1,1,1) ]

 

위 예시 행렬에서 (1,1,1)은 자기 자신과의 비교를 의미하며, (2,3,4)나 (1/4,1/3,1/2)는 퍼지 수로 표현된 쌍대 비교값입니다. 전통 AHP가 단일 숫자로만 애매한 판단을 표현하던 것과 달리, Fuzzy AHP는 “최소값, 대표값, 최대값”을 모두 갖추어 사람의 모호함과 불확실성을 보다 유연하게 반영합니다.

 

4.3 역수(Reciprocal) 관계

 

전통 AHP가 a_ij = 1 / a_ji를 통해 “한쪽이 3이면 다른 쪽은 1/3”을 자동으로 결정하듯, Fuzzy AHP에서도 삼각 퍼지 수 (l, m, u)의 역수를 (1/u, 1/m, 1/l)로 정의함으로써 동일한 Reciprocal property를 유지합니다. 예컨대 (2,3,4)의 역수는 (1/4, 1/3, 1/2)가 되며, A가 B보다 (2,3,4) 정도로 더 중요하다고 했다면, B는 A보다 (1/4,1/3,1/2) 정도로 덜 중요하다고 해석할 수 있습니다. 이를 통해, 퍼지 쌍대 비교 행렬에서도 전통 AHP와 같은 대칭성을 이어가며, 사람이 느끼는 “A가 B보다 정확히 3이 아니라 2~4 정도 범위로 중요”라는 애매함을 자연스럽게 반영할 수 있습니다.

 

결과적으로, 퍼지 쌍대 비교 행렬은 (l, m, u) 형태의 구간을 사용하기 때문에, 전통 AHP보다 모호함과 불확실성을 더욱 잘 담아낼 수 있으며, 최종적으로 퍼지 연산(덧셈, 곱셈, 역수 등)을 통해 우선순위를 구할 때도 유연하고 현실감 있게 계산 결과를 도출할 수 있다는 장점을 지닙니다.

 

 

5. 퍼지 연산(Fuzzy Operations)

 

Fuzzy AHP에서 행렬을 구성한 뒤, 우선순위(가중치) 벡터를 구하려면 퍼지 수 간의 덧셈, 곱셈, 역수 등 연산 규칙을 적용해야 합니다. (아래는 삼각 퍼지 수 기준이며, 사다리꼴 퍼지 수도 유사합니다.)

 

5.1 퍼지 덧셈(Fuzzy Addition)

 

삼각퍼지수 \( \tilde{A} = (l_1,\; m_1,\; u_1) \), \( \tilde{B} = (l_2,\; m_2,\; u_2) \) 가 있을 때, 퍼지 덧셈 \( \tilde{A} \oplus \tilde{B} \) 는 다음과 같이 정의합니다.

 

\( \displaystyle \tilde{A} \oplus \tilde{B} \;=\; (\,l_1 + l_2,\; m_1 + m_2,\; u_1 + u_2\,). \)

 

즉, 왼쪽(최솟값)끼리 더하고, 중간(대표)값끼리 더하고, 오른쪽(최댓값)끼리 더합니다.

 

예: \(\tilde{A} = (2,3,4), \;\tilde{B} = (3,4,5)\)라면, \(\tilde{A} \oplus \tilde{B} = (5,7,9)\).

 

퍼지 덧셈은 전통적인 실수의 덧셈과 매우 유사하지만, 각 구간의 \( l, m, u \)를 각각 대응해 더한다는 점이 특징입니다. 이를 통해 여러 퍼지 수가 합쳐졌을 때도, 최솟값-대표값-최댓값 구조가 유지됩니다.

 

5.2 퍼지 곱셈(Fuzzy Multiplication)

 

두 삼각 퍼지수가 \( \tilde{A} = (l_1,\; m_1,\; u_1) \), \( \tilde{B} = (l_2,\; m_2,\; u_2) \) 가 있을 때, 퍼지 곱셈 \( \tilde{A} \otimes \tilde{B} \) 는 다음과 같이 정의됩니다. 

\( \displaystyle \tilde{A} \otimes \tilde{B} \;=\; (\,l_1 \times l_2,\; m_1 \times m_2,\; u_1 \times u_2\,). \)

 

왼쪽(최솟값)끼리, 중간(대표값)끼리, 오른쪽(최댓값)끼리 곱합니다. 예: \(\tilde{A} = (2,3,4),\; \tilde{B} = (4,5,6)\)라면, \(\tilde{A} \otimes \tilde{B} = (8,15,24)\).

 

전통 곱셈과 유사하되, 각 구간을 그대로 곱함으로써, 최솟값은 최솟값끼리, 최댓값은 최댓값끼리 결합되어 “범위 곱셈”을 구현합니다. 이를 통해 퍼지 쌍대 비교 행렬의 행(기준별 기하평균 등)을 구할 때, 삼각 퍼지 수의 곱셈을 자연스럽게 적용할 수 있습니다.

 

5.3 퍼지 역수(Fuzzy Reciprocal)

 

삼각 퍼지 수는 \( \tilde{A} = (l,\; m,\; u) \) 의 역수 \( \tilde{A}^{-1} \) 는 아래와 같이 정의합니다.  

\( \displaystyle (l, m, u)^{-1} \;=\; \Bigl(\tfrac{1}{u},\; \tfrac{1}{m},\; \tfrac{1}{l}\Bigr). \)

 

예를 들어 \(\tilde{A} = (2,3,4)\)라면, \(\tilde{A}^{-1} = \bigl(\tfrac{1}{4},\;\tfrac{1}{3},\;\tfrac{1}{2}\bigr)\).이가 되죠. 

 

전통 AHP에서 “A가 B보다 3배 중요”이면 “B는 A보다 1/3 중요”라는 방식으로 역수를 취하듯, Fuzzy AHP에서도 퍼지 수의 역수를 이용해 Reciprocal property(대칭성)를 유지합니다. 이는 퍼지 쌍대 비교 행렬 상에서 한쪽 값을 알면 반대쪽 값을 자동으로 결정할 수 있음을 의미합니다.

 

5.4 기타 퍼지 연산 (퍼지-스칼라 곱셈 등)

 

퍼지-스칼라 곱셈은 어떤 상수 \( k \)와 삼각 퍼지 수 \( (l,m,u) \)가 주어졌을 때, \( k \otimes (l,m,u) = (k \times l,\; k \times m,\; k \times u) \). \( k \)가 양수일 때는 단순히 구간 전체를 \( k \)-배로 늘린다고 볼 수 있습니다.

 

퍼지 합계와 평균은 여러 퍼지 수 \( \tilde{A}_1,\; \tilde{A}_2,\;\dots,\; \tilde{A}_m \)가 있을 때, 이들을 각각 덧셈(\(\oplus\)) 연산으로 더한 뒤, 스칼라 \( \tfrac{1}{m} \)를 곱해 평균을 낼 수 있습니다. 이를 통해 여러 전문가의 퍼지 쌍대 비교값을 하나의 대표 퍼지 값으로 통합하기도 합니다.

 

전통적인 실수의 사칙연산 규칙과 매우 유사하지만, 각 구간(최솟값, 대표값, 최댓값)을 각각 대응시켜 연산한다는 점이 이들 퍼지 연산의 핵심입니다.

 

 

6. 마무리: 퍼지 수와 퍼지 연산이 왜 중요한가?

 

지금까지 살펴본 것처럼, Fuzzy AHP는 전통 AHP의 쌍대 비교 행렬을 퍼지 쌍대 비교 행렬로 확장하여, “(2,3,4), (6,7,8)” 등 구간으로 된 평가값을 다룰 수 있게 합니다. 이는 사람이 느끼는 판단의 모호성을 더 자연스럽게 반영하고, 불확실성이 큰 상황에서 하나의 숫자로 단정 짓기 어려울 때 유리합니다.

• 퍼지 수(Fuzzy Number): 삼각 혹은 사다리꼴 형태로 “최소, 대표, 최대값”을 정의
• 언어적 변수: “약간 중요, 상당히 중요” 같은 표현을 퍼지 수로 매핑
• 퍼지 쌍대 비교 행렬: 전통 AHP의 행렬 원소를 퍼지 수로 대체, Reciprocal 관계 유지
• 퍼지 연산: (l,m,u)를 기본 단위로, 덧셈·곱셈·역수 정의 → 최종 우선순위 계산

이 과정을 통해 최종적으로 Fuzzy AHP는 전통 AHP에서처럼 우선순위 벡터를 산출해 낼 수 있습니다. 계산 과정은 다소 복잡하지만, 사람의 직관적·모호한 판단을 정수 척도보다 훨씬 유연하게 반영할 수 있기 때문에, 연구나 실무 현장에서도 광범위하게 사용됩니다.

 

 

7. 결론

 

Fuzzy AHP는 인간의 주관적 판단과 불확실성을 반영하기 위해 퍼지 이론을 도입한 AHP 확장 기법입니다. 그 핵심은 퍼지 수(삼각, 사다리꼴)을 사용하여, 전통 AHP에서 1~9 정수로 표현하던 쌍대 비교값을 범위로 나타낸다는 데 있습니다. 퍼지 연산(덧셈, 곱셈, 역수 등)도 구간 형태로 정의하여, 전통 AHP에서처럼 우선순위 벡터를 산출해 낼 수 있습니다.

 

이로써 “A가 B보다 정확히 3배 중요하다”가 아니라, “대략 2~4배 정도로 중요하다”라는 식의 유연한 의사결정이 가능해집니다. 복잡하고 불확실성이 큰 문제에서 전문가들의 판단을 보다 자연스럽게 반영할 수 있다는 점이 Fuzzy AHP의 큰 장점입니다.

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